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12.2 Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Para obtener las equivalencias entre los cuadrantes, relacionamos las razones trigonométricas de un ángulo α del primer cuadrante con el resto de los cuadrantes. En las figuras leemos mirando por donde indica la flecha, en cada uno de los cuadrantes.
Leemos en la figura las razones de α y de 180° - α
sen α = y seno ( 180° - α ) = y ⇒ sen ( 180° - α ) = sen α
Segundo cuadrante 90° < α < 180° ángulos suplementarios 180° - α
sen ( 180° - α ) = sen α
cos( 180° - α ) = - cos α
tan ( 180° - α ) = - tan α
Hallar el seno, coseno y la tangente de 135°
Calculamos el valor del ángulo α correspondiente al primer cuadrante y aplicamos las equivalencias.
180° - α = 135° α = 180° - 135 ° α = 45°
sen 135° = sen 45° = √2 ⁄ 2
cos 135° = - cos 45° = - √2 ⁄ 2
tan 135° = - tan 45° = - 1
Tercer cuadrante 180° < α < 270° difieren en 180° 180° + α
sen ( 180° + α ) = - sen α
cos( 180° + α ) = - cos α
tan ( 180° + α ) = tan α
Hallar el seno, coseno y la tangente de 210°
Calculamos el valor del ángulo α correspondiente al primer cuadrante y aplicamos las equivalencias.
180° + α = 210° α = 30°
sen 210° = - sen 30° = - 1 ⁄ 2
cos 210° = - cos 30 ° = - √3 ⁄ 2
tan 210° = tan 30° = √3 ⁄ 3
Cuarto cuadrante 270° < α < 360° ángulos opuestos - α ó 360° - α
sen ( 360° - α ) = - sen α
cos( 360° - α ) = cos α
tan ( 360° - α ) = - tan α
Hallar el seno, coseno y la tangente de 315°
Calculamos el valor del ángulo α correspondiente al primer cuadrante y aplicamos las equivalencias.
360° - α = 315° α = 360° - 315° α = 45°
sen 315° = - sen 45° = - √2 ⁄ 2
cos 315° = cos 45 ° = √2 ⁄ 2
tan 315° =- tan 45° = - 1
Primer cuadrante 0° < α < 90° ángulos suplementarios 90° - α
sen ( 90° - α ) = cos α
cos(90° - α ) = sen α
tan ( 90° - α ) = 1 / tan α
Sabiendo que sen 25° = 0,423 y cos 25° = 0,906. Hallar las razones trigonométricas de 65°
Calculamos el valor del ángulo α y aplicamos las equivalencias.
90° - α = 65° α = 90° - 65° α = 25°
sen 65° = cos 25° = 0,906
cos 65° = sen 25 ° = 0,423
tan 65° = 1 / tan 25 °= 2, 145
Actividad interactiva
> Observa los valores y el signo del seno y coseno de ángulos situados en cualquier cuadrante.
Ejercicios resueltos
