10.2 Propiedades de las funciones en un intervalo
Teorema de Rolle
Sea f una función que verifica las siguientes hipótesis:
- Es continua en el intervalo cerrado [a, b]
- Es derivable en el intervalo abierto (a, b)
- Toma el mismo valor en los extremos del intervalo, es decir f(a) = f(b)
Entonces, existe un punto c que pertenece (a, b) tal que f´(c) = 0 , es decir, con tangente horizontal.
Ejemplos
1 Comprobar que la función f(x) = x 2 – 4x + 11 verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [1, 3]
- Es continua en [1, 3] por ser polinómica.
- Es derivable en (1, 3) por ser polinómica.
- f(1) = 8; f(3) = 8
Entonces existe un punto c en el intervalo abierto (a, b) con derivada nula en dicho punto.
Veamos: f´(x) = 2x – 4 f´(c) = 0 2c – 4 = 0 2c = 4 c = 2
El punto c = 2 esta en el interior del intervalo [1, 3]
