Propiedades de las funciones en un intervalo       10.2

Teorema de Rolle

Sea f una función que verifica las siguientes hipótesis:

- Es continua en el intervalo cerrado [a, b]

- Es derivable en el intervalo abierto (a, b)

- Toma el mismo valor en los extremos del intervalo, es decir f(a) = f(b)

Entonces, existe un punto c que pertenece (a, b) tal que f´(c) = 0 , es decir, con tangente horizontal.

Ejemplos

1    Comprobar que la función f(x) = x ² – 4x + 11 verifica las hipótesis del teorema de  Rolle en el intervalo [1, 3]

- Es continua en [1, 3] por ser polinómica.

- Es derivable en (1, 3) por ser polinómica.

- f(1) = 8; f(3) = 8

Entonces existe un punto c en el intervalo abierto (a, b) con derivada nula en dicho punto.

Veamos:  f´(x) = 2x – 4    f´(c) = 0    2c – 4 = 0     2c = 4    c = 2

El punto c = 2 esta en el interior del intervalo [1, 3] .