Inicio    >   Segundo   >  10.2  Continuidad y derivabilidad en un intervalo. Teorema de Rolle


10.2  Propiedades de las funciones en un intervalo


Teorema de Rolle


  Sea f una función que verifica las siguientes hipótesis:


-   Es continua en el intervalo cerrado [a, b]

-   Es derivable en el intervalo abierto (a, b)

-  Toma el mismo valor en los extremos del intervalo, es decir f(a) = f(b)


Entonces, existe un punto c que pertenece (a, b) tal que f´(c) = 0 , es decir, con tangente horizontal.


Gráfica de una función Rolle.


Ejemplos


1    Comprobar que la función f(x) = x 2 – 4x + 11 verifica las hipótesis del teorema de  Rolle en el intervalo [1, 3]


- Es continua en [1, 3] por ser polinómica.

- Es derivable en (1, 3) por ser polinómica.

- f(1) = 8; f(3) = 8


Entonces existe un punto c en el intervalo abierto (a, b) con derivada nula en dicho punto.


Veamos:  f´(x) = 2x – 4    f´(c) = 0    2c – 4 = 0     2c = 4    c = 2


El punto c = 2 esta en el interior del intervalo [1, 3]


Ejemplos del teorema de Rolle.


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