10.2 Ejemplos de correlación y rectas de regresión
Ejemplo para calcular la varianza, la desviación típica, la covarianza y el coeficiente de correlación r
1. Una compañía de seguros considera que el número de vehículos (y) que circulan por una determinada autopista a más de 120 km/h , puede ponerse en función del número de accidentes (x) que ocurren en ella. Durante 5 días obtuvo los siguientes resultados:
| Accidentes xi | 5 | 7 | 2 | 1 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|
| Vehículos yi | 15 | 18 | 10 | 8 | 20 |
a) Calcula el coeficiente de correlación lineal.
b) Si ayer se produjeron 6 accidentes, ¿cuántos vehículos podemos suponer que circulaban por la autopista a más de 120 km / h?
c) ¿Es buena la predicción?
Construimos una tabla con las columnas necesarias
| fi | xi | yi | xi2 | yi2 | xi · yi | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 15 | 25 | 225 | 75 | |
| 1 | 7 | 18 | 49 | 324 | 126 | |
| 1 | 2 | 10 | 4 | 100 | 20 | |
| 1 | 1 | 8 | 1 | 64 | 8 | |
| 1 | 9 | 20 | 81 | 400 | 180 | |
| ∑ | 5 | 24 | 71 | 160 | 1113 | 409 |
Ejemplo para calcular una recta de regresión
2. Las calificaciones de 40 alumnos en psicología evolutiva y en estadística han sido las de la tabla adjunta.
| Psicología xi | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Estadística yi | 2 | 5 | 5 | 6 | 7 | 6 | 7 | 9 | 10 |
| Nº de alumnos fi | 4 | 6 | 12 | 4 | 5 | 4 | 2 | 1 | 2 |
a) Obtener la ecuación de la recta de regresión de calificaciones de estadística respecto de las calificaciones de psicología.
b) ¿Cuál será la nota esperada en estadística para un alumno que obtuvo un 4,5 en psicología?
Construimos una tabla con las columnas necesarias
| fi | xi | yi | fi·xi | fi·yi | fi·xi2 | fi·yi2 | fi·xi·yi | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 3 | 2 | 12 | 8 | 36 | 16 | 24 | |
| 6 | 4 | 5 | 24 | 30 | 96 | 150 | 120 | |
| 12 | 5 | 5 | 60 | 60 | 300 | 300 | 300 | |
| 4 | 6 | 6 | 24 | 24 | 144 | 144 | 144 | |
| 5 | 6 | 7 | 30 | 35 | 180 | 245 | 210 | |
| 4 | 7 | 6 | 28 | 24 | 196 | 144 | 168 | |
| 2 | 7 | 7 | 14 | 14 | 98 | 98 | 98 | |
| 1 | 8 | 9 | 8 | 9 | 64 | 81 | 72 | |
| 2 | 10 | 10 | 20 | 20 | 200 | 200 | 200 | |
| ∑ | 40 | 220 | 224 | 1314 | 1378 | 1336 |
3. Las notas obtenidas por 10 alumnos en Matemáticas y en Música son:
| Matemáticas xi | 6 | 4 | 8 | 5 | 3,5 | 7 | 5 | 10 | 5 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Música yi | 2 | 5 | 5 | 6 | 7 | 6 | 7 | 9 | 10 | 10 |
• Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación.
• ¿Existe correlación entre las dos variables?
• ¿Cuál será la nota esperada en Música para un alumno que hubiese obtenido un 8,3 en Matemáticas?
Solución
a) Covarianza = 3,075. Coeficiente de correlación r = 0,92.
b) Existe una correlación positiva fuerte.
c) Recta de regresión: y = 1,6 + 0,817 x La nota esperada en Música = 8, 38
4. Cinco niñas de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan respectivamente 14, 20, 30, 42 y 44 kg . Halla la ecuación de la recta de regresión de la edad sobre el peso. ¿Cuál sería el peso aproximado de una niña de 6 años?
Solución
Ecuación de la recta de regresión: x = 0,192 y - 0,76
Peso aproximado de una niña de 6 años: 35,2 kg