Problemas de programación lineal

1   Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 de titanio y 1 de aluminio, mientras que para fabricar 100 metros de cable de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 de titanio y 1 de aluminio. El beneficio que se obtiene por 100 metros de cable de tipo A es de 1500 euros, y por 100 metros de cable de tipo B, 1000 euros.
Calcular los metros de cable de cada tipo que hay que fabricar para maximizar el beneficio de la empresa. Obtener dicho beneficio máximo.

Solución:

El beneficio máximo asciende a 17000 euros y se obtiene fabricando 600 metros de cable de tipo A y 800 metros de tipo B.

2   Una empresa está seleccionando empleados con contrato eventual por un año y con contrato fijo. El sueldo anual ( en miles de euros) de cada empleado eventual es 8 y de cada empleado fijo 15. La empresa tiene un tope máximo de 480 (miles de euros) para pagar los sueldos anuales de los empleados que contrate. Los empleados fijos han de ser por lo menos 10, y no más de 24. Además, el número de eventuales no puede superar en más de 14 al de fijos.

a) ¿Que combinaciones de empleados fijos y eventuales se pueden contratar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿ Podría contratar a 24 fijos y ningún eventual? 

b) Si el objetivo es contratar al mayor número total de empleados, ¿cuántos ha de contratar de cada tipo?

Solución: 

a) Sí se podría contratar a 24 fijos y ningún eventual, pues el punto (24, 0) está en la región factible.

b) Para que el número de empleados sea máximo, hay que contratar 16 fijos y 30 eventuales.

3   Una empresa fabrica dos calidades de un bien, teniendo que producir en total un mínimo de 100 unidades y un máximo de 200. El coste de producción de una unidad de la primera calidad es de 15 euros y se obtiene un beneficio unitario de 100 euros. El coste de producción de una unidad de la segunda calidad es de 10 euros y se obtiene un beneficio unitario de 50 euros.

a)   Plantee y resuelva un programa lineal para averiguar el coste total mínimo para obtener un beneficio total de al menos 12500 euros.

b)   Plantee y resuelva un programa lineal para averiguar el beneficio total máximo con un coste total no superior a 2550 euros.

Solución :

a)   El coste mínimo para obtener un beneficio de al menos 12500 euros es de 1875 euros y se obtiene fabricando 125 unidades de primera calidad y ninguna unidad de segunda calidad.

b) El beneficio máximo asciende a 17000 euros y se obtiene fabricando 170 unidades de primera calidad y ninguna de segunda calidad.

4   Un establecimiento de prendas deportivas tiene almacenados 1600 bañadores, 1000 gafas de baño y 800 gorros de baño. Se quiere incentivar la compra de estos productos mediante la oferta de dos tipos de lotes: el lote A, que produce un beneficio de 8 euros, formado por un bañador, un gorro y unas gafas, y el lote B que produce un beneficio de 10 euros y está formado por dos bañadores y unas gafas. Sabiendo que la publicidad de esta oferta tendrá un coste de 1.500 euros a deducir de los beneficios, se pide calcular el número de lotes A y B que harán máximo el beneficio y a cuánto asciende éste.

Ayuda      La función a optimizar es: B(x, y) = 8x + 10y -1500

Solución:

Se deben preparar 400 lotes A y 600 lotes B para obtener el máximo beneficio que asciende a 7700 euros.

5   Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños: pequeño y grande. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar más de 1000 envases en total. En función de la demanda sabe que debe mantener un stock mínimo de 100 envases pequeños y 200 envases grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases pequeños. El coste de almacenaje es de 10 céntimos de euro para cada envase pequeño y de 20 céntimos de euro para cada envase grande. ¿Qué cantidad de cada tipo de envase proporciona el mínimo gasto de almacenaje? Obtener dicho mínimo.

Ayuda    La función a optimizar es: G(x, y) = 0,10x + 0,20 y (en euros)

Solución:

Debe almacenar 100 envases pequeños y 200 envases grandes para que el gasto mínimo de almacenaje sea de 50 euros.

6   Una papelería quiere liquidar hasta 78 kg de papel reciclado y hasta 138 kg de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes A están formados por 1 kg de papel reciclado y 3 kg de papel normal y los lotes B por 2 kg de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote A es de 0,9 euros y el de cada lote B es de 1 euro. ¿Cuántos lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? ¿ A cuánto ascienden estos ingresos máximos?

Solución:

Hay que vender 30 lotes de tipo A y 24 de tipo B. Beneficio máximo: 51 euros.

7   Una empresa fabrica láminas de aluminio de dos grosores, finas y gruesas, y dispone cada mes de 400 kg de aluminio y 450 horas de trabajo para fabricarlas. Cada m²de lámina fina necesita 5 kg de aluminio y 10 horas de trabajo, y deja una ganancia de 45 euros. Cada m² de lámina gruesa necesita 20 kg y 15 horas de trabajo, y deja una ganancia de 80 euros. ¿Cuántos m²de cada tipo de lámina debe fabricar la empresa al mes para que la ganancia sea máxima, y a cuánto asciende ésta?

Solución:

Se deben fabricar 24 m²de lámina fina y 14 m²de lámina gruesa. Ganancia 2200 euros.