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13.2 Problemas de cálculo de distancias desconocidas
La trigonometría se utiliza para calcular distancias desconocidas, midiendo ángulos (con un aparato que se llama teodolito) y distancias conocidas.
Cálculo de alturas
Medir la altura de un edificio desde el suelo
La altura del edificio h es el segmendo CD.
Nos situamos en el punto B y medimos el ángulo de elevación
El ángulo de elevación está formado por los lados BC y BD, en nuestro caso vale 45°.
Nos situamos en el punto A alejandonos 30 m del punto B . Medimos su ángulo de elevación formado por los lados AC y AD, en nuestro caso 30°.
Hacemos un dibujo de las medidas tomadas y calculamos h y x.
Ejemplos
1. Juán y Pedro ven desde las puertas de sus casa una torre, bajo ángulos de 45° y 60°. La distancia entre sus casas es de 126 m y la torre está situada entre sus casas. Halla la altura de la torre.
Hacemos un dibujo con los datos.
Al trazar la altura de la torre se origina dos triángulos rectángulos.
Si llamamos x a la distancia de uno de los observadores al pie de la torre, la distancia del otro debe ser 126 - x.
Utilizamos las tangentes en ambos triángulos rectángulos, ya que tienen en conún un cateto que es la altura de la torre.
Planteamos el sistema de ecuaciones y resolvemos.
Problemas con soluciones
Actividad interactiva
> Resolver cualquier triángulo, escribiendo los datos de los ángulos y lados que sepamos.
1. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.
a) Datos: Â = 90° a = 5 b = 3
b) Datos: Â = 90° c = 15 b = 8 B = 28°
Solución: a) B = 53,13° C = 36,87° c = 4 b) C = 62° a = 17
2. Calcula el radio y la apotema de un octógono de lado 10 cm .
Solución: radio =13,1 m apotema = 12,1 m
3. Desde dos puntos A y B separados 800 m , observamos un globo con ángulos de elevación de 30° y 75° respectivamente. Hallar la altura a la que se encuentra el globo.
Solución: h = 399,9 m
4. Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va a aterrizar. En ese momento el avión se encuentra a una altura de 1200 m y el ángulo de observación desde la torre es de 30º. A que distancia está el avión del pie de la torre si esta mide 40 m de altura.
Solución: 2340,3 m
5. Para calcular la altura de la torre Eiffel, nos situamos a 74 m de la base de la torre. Si observamos la torre con un ángulo de elevación de 75º. ¿Cuánto mide la torre?
Solución: h = 276 m
6. Desde lo alto de una torre de 40 m de altura, se ven las almenas de otra torre separada 20 m bajo un ángulo de 70º. ¿Cuál es la altura de la torre vecina?
Solución: h = 90,95 m